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Derivate Derivate e regole di derivazione

Retta tangente al grafico di una funzione

I concetti

  1. Significato geometrico di derivata. Data una funzione y=f(x), definita in un intorno di x0 e derivabile in x0, consideriamo sul suo grafico i punti P[x0;f(x0)] e Q[x0+h;f(x0+h)].
    Significato geometrico di derivata
    La retta PQ, secante il grafico, ha coefficiente angolare

    ΔyΔx=f(x0+h)f(x0)h.
    Se h0, Q si avvicina a P e la secante tende alla tangente t in P. La retta t ha allora coefficiente angolare:
    mt=limh0f(x0+h)f(x0)h=f(x0).

  2. Data una funzione y=f(x) e un punto P[x0;f(x0)] appartenente al grafico della funzione, se la funzione è derivabile in x0, l'equazione della retta t tangente al grafico della funzione in P è

    t:yf(x0)=f(x0)(xx0).

    Retta t tangente al grafico della funzione in P
  3. Se f(x0)=0, il punto x0 si dice stazionario e la retta tangente al grafico di f(x) in P[x0;f(x0)] è parallela all'asse x.
    Esempio di punto stazionario Esempio di punto stazionario

Il metodo

Data la funzione y=f(x), per determinare l'equazione della retta tangente al suo grafico nel punto P[x0;f(x0)]:

  • calcoliamo f(x);
  • determiniamo m=f(x0);
  • applichiamo la formula

yf(x0)=m(xx0).

Data la funzione y=lnxx2, determiniamo:
  1. l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto A(1;1);
  2. i punti stazionari;
  3. le coordinate del punto B in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla bisettrice del I e III quadrante.

Calcoliamo la derivata della funzione nel dominio D=]0;+[:

y=1x2x.

  1. Per determinare la retta tangente in A(1;1) calcoliamo il coefficiente angolare:

    m=y(1)=1.

    L'equazione è pertanto:

    y+1=(x1)y=x.

  2. Per determinare i punti stazionari risolviamo l'equazione y(x)=0 per x nel dominio della derivata D=]0;+[:

    1x2x=0x=22.

  3. La retta tangente in B ha coefficiente angolare 1. Quindi risolviamo la seguente equazione (ricordando che x deve appartenere al dominio D):

    y(x)=11x2x=1x=12.

  1. Determinare l'equazione della retta tangente alla curva di equazione y=x22x nel suo punto di ascissa 2.

    Soluzione:

    [y=32x2]
  2. Determina l'equazione della tangente alla curva di equazioni parametriche

    {x=t+1y=t3+t+1tR,

    nel punto di ascissa x=1.
    (Suggerimento: Determina prima l'equazione y=f(x) della curva.)

    Soluzione:

    [y=x]
  3. Determina i punti stazionari della funzione y=x2ex1.

    Soluzione:

    [x=0;x=2]
  4. Determina i valori dei parametri reali a,b e c in modo che le curve y=x2+ax+b e y=x3+x+c abbiano tangente comune nel punto A(1;1).

    Soluzione:

    [a=2,b=2,c=1]
  5. Determina le equazioni delle rette tangenti alla curva di equazione y=xx+1 e parallele alla retta

    r:y4x+2=0.

    Soluzione:

    [t:y4x1=0;t:y4x9=0]
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Fabrizio DuDAT
franze@dudat.it

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